Question

定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x≥0时，f（x）=3e^x+a，其中e是自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的解析式．（2）求最大的整数m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤3ex．

Answer

（1）由y=ex是增函数，得知f（x）也是（0，+∞）上增函数，再由f（x）为偶函数，则f（x）在（-∞，0）上是减函数，从而当x=0时有最小值求得a值，然后利用偶函数求对称区间上的解析式即可．
（2）先假设当x∈[1，m]时，存在t∈R，有f（x+t）≤3ex，则有f（1+t）≤3e，下面要选择解析式，所以要分1+t≥0时和1+t≤0时两种情况得t的范围，同样地，有f（m+t）≤3em及m≥2，得em+t≤em转化为由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解，只要求得et在[-2，0]上的最小值可即可．
【解析】
（1）∵y=ex是增函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，又f（x）为偶函数，∴f（x）min=f（0）=3+a，∴3+a=3．∴a=0
当x＜0时，∵-x＞0∴f（x）=f（-x）=3e-x
综上，
（2）当x∈[1，m]时，有f（x+t）≤3ex，∴f（1+t）≤3e
当1+t≥0时，3e1+t≤3e即e1+t≤e，1+t≤1，∵-1≤t≤0
当1+t≤0时，同理，-2≤t≤-1，∴-2≤t≤0
同样地，f（m+t）≤3em及m≥2，得em+t≤em∴
由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解．
∵et在[-2，0]上的最小值为e-2，∵，即em-e3m≤0①
令g（x）=ex-e3x，x∈[2，+∞）．
则g'（x）=ex-e3由g'（x）=0得x=3
当2≤x＜3时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x＞3时，g'（x）＞0，g（x）是增函数
∴g（x）的最小值是g（3）=e3-3e3=-2e3＜0，
又g（2）＜0，g（4）＜0，g（5）＞0，
∴g（x）=0在[2，+∞）上有唯一解m∈（4，5）．
当2≤x≤m时，g（x）≤0，当x＞m时，g（x）＞0∴在x∈[2，+∞）时满足不等式①的最大实数解为m
当t=-2，x∈[1，m]时，f（x-2）-3ex=3e（e|x-2|-1-x），在x∈[1，2）时，∵e|x-2|-1=e1-x≤1∴f（x-2）-3ex≤0，在x∈[2，m]时，f（x-2）-3ex=
综上所述，m最大整数为4．