Question

正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起，使A、C点重合于A′点．
（1）证明A′D⊥EF；
（2）当BF=BC时，求三棱锥A′-EFD的体积．

Answer

（1）由正方形的几何牲，我们易得AD⊥AB，DC⊥BC，即折起后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，由线面垂直的判定定理可得，A′D⊥面A′EF，再由线面垂直的性质可得A′D⊥EF；
（2）根据A´E=AE=1，A´F=CF=，EF=利用勾股定理得出：△A´EF为Rt三角形，∠A´EF=90°，最后利用体积公式即可求三棱锥A′-EFD的体积．
证明：（1）∵ABCD是正方形
∴AD⊥AB，DC⊥BC，
即AD⊥AE，DC⊥CF，折起后，即A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
∴A′D⊥面A′EF
∴A′D⊥EF
（2）A´E=AE=1，A´F=CF=，EF=
∴A´F2=EF2+A´E2
∴△A´EF为Rt三角形，∠A´EF=90°
∴S△A´EF=     
 VA´-EFD=VD-A´EF=S△A´EF•DA´=