Question

已知a＞1，函数f（x）=log_a（x²-ax+2）在x∈[2，+∞）时的值恒为正．
（1）a的取值范围；
（2）记（1）中a的取值范围为集合A，函数g（x）=log₂（tx²+2x-2）的定义域为集合B．若A∩B≠∅，求实数t的取值范围．

Answer

（1）欲使x2-ax+2＞1在x∈[2，+∞）时恒成立，转化成在x∈[2，+∞）时恒成立，根据
函数在[2，+∞）上的单调性求出最小值即可，使a小于最小值即可，注意条件a＞1；
（2）先求出集合A，表示出集合B，根据A∩B≠∅，得不等式tx2+2x-2＞0有属于A的解，即有属于A的解，根据二次函数的性质求出的值域，即可求出t的范围．
【解析】
（1）x2-ax+2＞1在x∈[2，+∞）时恒成立．即在x∈[2，+∞）时恒成立．
又函数在[2，+∞）上是增函数，
所以，
从而．（6分）
（2）A=，B={x|tx2+2x-2＞0}．
由于A∩B≠∅，
所以不等式tx2+2x-2＞0有属于A的解，
即有属于A的解．（8分）
又时，，
所以=∈．
故．（12分）