Question

如图，函数y=|x|在x∈[-1，1]的图象上有两点A，B，AB∥Ox轴，点M（1，m）（m是已知实数，且m＞）是△ABC的边BC的中点．
（1）写出用B的横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）的最大值，并求出相应的C点坐标．

Answer

（1）欲求△ABC面积S，关键是求边AB的长及相应的高，依题意，设B（t，t），A（-t，t）（t＞0），C（x，y）．求出△ABC中边|AB|及AB边上的高h，再利用三角形的面积公式计算即得；
（2）先对函数式进行了配方得：S=-3t2+2mt=-3（t-）2+，t∈（0，1]．下面结合二次函数的图象与性质求解其最大值即可．
【解析】
（1）依题意，设B（t，t），A（-t，t）（t＞0），C（x，y）．
∵M是BC的中点，∴=1，=m，∴x=2-t，y=2m-t．
在△ABC中，|AB|=2t，AB边上的高h=y-t=2m-3t．
∴S=|AB|•h=•2t•（2m-3t）=-3t2+2mt，t∈（0，1]．
（2）S=-3t2+2mt=-3（t-）2+，t∈（0，1]．若，
即＜m≤3．当t=时，Smax=，相应的C点坐标是（2-，m）．
若＞1，即m＞3时，S=f（t）在区间（0，1]上是增函数，
∴Smax=f（1）=2m-3，相应的C点坐标是（1，2m-）．