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满分5
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高中数学试题
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已知数列{an}的各项均是正数,其前n项和为Sn,满足( p-1)Sn=p2-a...
已知数列{a
n
}的各项均是正数,其前n项和为S
n
,满足( p-1)S
n
=p
2
-a
n
,其中p为正常数,且p≠1.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=
(n∈N
*
),数列{b
n
b
n+2
}的前n项和为T
n
<
.
(1)利用sn+1-sn=an+1求出an的递推公式,进而求解. (2)将(1)中的结论代入bn=,求出bn,进而求出bnbn+2,利用列项法求出Tn,即可证明不等式. 【解析】 (Ⅰ)由题设知(p-1)a1=p2-a1,解得a1=p.(2分) ∵( p-1)Sn=p2-an, ∴( p-1)Sn+1=p2-an+1, 两式作差得(p-1)(Sn+1-Sn)=an-an+1. ∴,(4分) ∴数列{an}是首项为p,公比为的等比数列. ∴.(6分) (Ⅱ)∵(8分), ∴(10分), ∴Tn=b1b3+b2b4+b3b5++bnbn+2 = =<(12分).
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考点分析:
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.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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