Question

为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．

Answer

（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．
（II）根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值做出样本容量的值，即调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．
（III）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果．
【解析】
（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1=0.32
（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x 依题意，得
3x+8x+19x+0.32+0.08=1，
∴x=0.02
设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，
∴n=50
∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．
（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，记他们的成绩为a，b，c
百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q．
则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有
{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，
{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，
{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个
其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有
{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，
{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，
∴P=