如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB1...

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB₁上一点，且A₁P⊥B₁M．
（1）试求A₁P与平面APC所成角的正弦；
（2）求点A₁到平面APC的距离．

（1）先建立适当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，再利用垂直关系的向量表示即可求得点P的坐标；进一步求出平面APC的法向量，最后利用向量的夹角公式即可求出直线A1P与平面APC所成角；（2）先利用空间中两点的距离公式求出：，设A1到平面PAC的距离为d，最后结合d与|A1P|的关系即可求出d值．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A1（2，0，0），B1，由A1P⊥B1M知 ∴，即点P的坐标为P．（1）设平面APC的法向量为n=（x，y，z），由即∴n=．取z=-1，则有n=，方向指向平面APC的左下方，又，．设直线A1P与平面APC所成角为α，则．（2），设A1到平面PAC的距离为d，则．

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考点分析：

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为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
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