Question

已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若，，证明：λ+μ为定值．

Answer

（1）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．P是线段AB的中点，A、B分别是直线和上的点，和．再由知动点P的轨迹C的方程为．
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，然后利用根与系数的关系进行求解．
【解析】
（1）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵P是线段AB的中点，∴（2分）
∵A、B分别是直线和上的点，
∴和．
∴（4分）
又，∴（x1-x2）2+（y1-y2）2=12．（5分）
∴，
∴动点P的轨迹C的方程为．（6分）
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．（7分）
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），
则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k2）x2-18k2x+9k2-9=0，（9分）
∴，①．②（10分）
∵，∴（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）]．
即
∴x3=λ（1-x3）．∵l与x轴不垂直，∴x3≠1，
∴，
同理．（12分）
∴=．
将①②代入上式可得．（14分）