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已知A、B分别是直线和上的两个动点,线段AB的长为,P是AB的中点. (1)求动...

已知A、B分别是直线manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网上的两个动点,线段AB的长为manfen5.com 满分网,P是AB的中点.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点Q(1,0)作直线l(与x轴不垂直)与轨迹C交于M、N两点,与y轴交于点R.若manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,证明:λ+μ为定值.
(1)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).P是线段AB的中点,A、B分别是直线和上的点,和.再由知动点P的轨迹C的方程为. (2)依题意,直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=k(x-1).设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5),则M、N两点坐标满足方程组消去y并整理,得(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0,然后利用根与系数的关系进行求解. 【解析】 (1)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2). ∵P是线段AB的中点,∴(2分) ∵A、B分别是直线和上的点, ∴和. ∴(4分) 又,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.(5分) ∴, ∴动点P的轨迹C的方程为.(6分) (2)依题意,直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=k(x-1).(7分) 设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5), 则M、N两点坐标满足方程组 消去y并整理,得(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0,(9分) ∴,①.②(10分) ∵,∴(x3,y3)-(0,y5)=λ[(1,0)-(x3,y3)]. 即 ∴x3=λ(1-x3).∵l与x轴不垂直,∴x3≠1, ∴, 同理.(12分) ∴=. 将①②代入上式可得.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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