Question

已知函数f（x）=x²-ax+ln（x+1）（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的极值点；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上恒有f′（x）＞x，求实数a的取值范围；
（3）已知c₁＞0，且c_n+1=f′（c_n）（n=1，2，…），在（2）的条件下，证明数列{c_n}是单调递增数列．

Answer

（1）先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．
（2）因f′（x）=2x-a+，由f′x）＞x，分参数得到：a＜x+，再利用函数y=x+的最小值即可得出求实数a的取值范围．
（3）本题考查的知识点是数学归纳法，要证明当n=1时，c2＞c1成立，再假设n=k时ck+1＞ck，ck＞0成立，进而证明出n=k+1时ck+2＞ck+1，也成立，即可得到对于任意正整数n数列{cn}是单调递增数列．
【解析】
（1）a=2时，fx）=x2-2x+ln（x+1），则f′（x）=2x-2+=，
f′x）=0，x=±，且x＞-1，
当x∈（-1，-）∪（，+∞）时f′x）＞0，当x∈（-，）时，f′x）＜0，
所以，函f（x）的极大值点x=-，极小值点x=．
（2）因f′（x）=2x-a+，f′x）＞x，
2x-a+＞x，
即a＜x+，
y=x+=x+1+-1≥1（当且仅x=0时等号成立），
∴ymin=1．∴a≤1
（3）①当n=1时，c2=f′（x）=2c1-a+，
又∵函y=2x+当x＞1时单调递增，c2-c1=c1-a+=c1+1+-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
∴c2＞c1，即n=1时结论成立．
②假设n=k时，ck+1＞ck，ck＞0则n=k+1时，
ck+1=f′（ck）=2ck-a+，
ck+2-ck+1=ck+1-a+=ck+1+1+-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
ck+2＞ck+1，即n=k+1时结论成立．由①，②知数{cn}是单调递增数列．