Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，点P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）证明：P为A₁B中点；
（2）若A₁B⊥AC₁，求三棱锥P-A₁AC的体积．

Answer

（1）取AB中点Q，CQ⊥AB，AB⊥CP⇒AB⊥QP⇒P为A1B中点
（2）用等体积转化，VP-A1AC=V=CQ，
【解析】
（Ⅰ）证明：取AB中点Q，
∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO
∴AB⊥QP
∴P为A1B的中点（4分）
（Ⅱ）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，
则BR⊥平面A1C1CA，由已知A1B⊥AC1，
∴A1R⊥AC1，∴△AC1C～△A1RA
∴，∴AC=A1A（6分）
则AA1=，则AC=2
∵

∴h=（10分）
∴（12分）