Question

已知定点，B是圆（C为圆心）上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer

（1）根据|EA|=|EB|可判断出|EA|+|EC|=|EB|+|EC|进而根据椭圆的定义可知点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，E的轨迹方程可得．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x，y）将直线方程与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得k与m的不等式关系；同时根据AB的垂直平分线与BC，可分别表示出两直线的斜率使其乘积等于-1求得k和m的关系式，进而可求得k的范围．设O到直线l的距离为d，根据三角形面积公式可得△OPQ的面积的表达式，根据k的范围确定△OPQ的面积的最大值．求出此时的k和m，所求的直线方程可得．
【解析】
（1）由题知|EA|=|EB|
∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4
又∵∴点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，
∴E的轨迹方程为
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x，y）
将直线y=kx+m与
联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0△=16（4k2+1-m2）＞0，即4k2+1＞m2①
又
依题意有，
整理得3km=4k2+1②
由①②可得，∵m＞0，∴k＞0，∴
设O到直线l的距离为d，则
=
当时，△OPQ的面积取最大值1，
此时，∴直线方程为