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已知定点,B是圆(C为圆心)上的动点,AB的垂直平分线与BC交于点E. (1)求...

已知定点manfen5.com 满分网,B是圆manfen5.com 满分网(C为圆心)上的动点,AB的垂直平分线与BC交于点E.
(1)求动点E的轨迹方程;
(2)设直线l:y=kx+m(k≠0,m>0)与E的轨迹交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.
(1)根据|EA|=|EB|可判断出|EA|+|EC|=|EB|+|EC|进而根据椭圆的定义可知点E的轨迹是以A,C为焦点,长轴长为4的椭圆,E的轨迹方程可得. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为(x,y)将直线方程与椭圆方程联立消去y,根据判别式大于0求得k与m的不等式关系;同时根据AB的垂直平分线与BC,可分别表示出两直线的斜率使其乘积等于-1求得k和m的关系式,进而可求得k的范围.设O到直线l的距离为d,根据三角形面积公式可得△OPQ的面积的表达式,根据k的范围确定△OPQ的面积的最大值.求出此时的k和m,所求的直线方程可得. 【解析】 (1)由题知|EA|=|EB| ∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4 又∵∴点E的轨迹是以A,C为焦点,长轴长为4的椭圆, ∴E的轨迹方程为 (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为(x,y) 将直线y=kx+m与 联立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0△=16(4k2+1-m2)>0,即4k2+1>m2① 又 依题意有, 整理得3km=4k2+1② 由①②可得,∵m>0,∴k>0,∴ 设O到直线l的距离为d,则 = 当时,△OPQ的面积取最大值1, 此时,∴直线方程为
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考点分析:
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