Question

已知函数
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）证明：对∀n∈N₊，不等式恒成立．

Answer

（1）先求函数的定义域，研究在（0，+∞）上的最值问题，先求出函数的极值，往往求出的极大值就是最大值．
（2）要证不等式即证=，所以只需证明lnx＜x（x-1），由第一问可知f（x）≤1，结论很快得证．
【解析】
（1）∵
令f'（x）=0得x2=1-lnx
显然x=1是上方程的解．
令g（x）=x2+lnx-1，x∈（0，+∞）
则，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调，
∴x=1是方程f'（x）=0的唯一解．（4分）
∵当0＜x＜1时-1＞0，
当x＞1时f'（x）＜0．∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴当x=1时函数有最大值f（x）max=f（1）=-1．（6分）
（2）由（1）知当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有，
对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）（8分）
∵
∴（11分）
即对∀n∈N*，不等式恒成立（12分）