满分5 > 高中数学试题 >

已知函数 (1)求函数f(x)的最大值; (2)证明:对∀n∈N+,不等式恒成立...

已知函数manfen5.com 满分网
(1)求函数f(x)的最大值;
(2)证明:对∀n∈N+,不等式manfen5.com 满分网恒成立.
(1)先求函数的定义域,研究在(0,+∞)上的最值问题,先求出函数的极值,往往求出的极大值就是最大值. (2)要证不等式即证=,所以只需证明lnx<x(x-1),由第一问可知f(x)≤1,结论很快得证. 【解析】 (1)∵ 令f'(x)=0得x2=1-lnx 显然x=1是上方程的解. 令g(x)=x2+lnx-1,x∈(0,+∞) 则,∴函数g(x)在(0,+∞)上单调, ∴x=1是方程f'(x)=0的唯一解.(4分) ∵当0<x<1时-1>0, 当x>1时f'(x)<0.∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. ∴当x=1时函数有最大值f(x)max=f(1)=-1.(6分) (2)由(1)知当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f(1)=-1 ∴在(0,+∞)上恒有, 对任意的x∈(0,+∞)恒有lnx≤x(x-1)(8分) ∵ ∴(11分) 即对∀n∈N*,不等式恒成立(12分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
已知定点manfen5.com 满分网,B是圆manfen5.com 满分网(C为圆心)上的动点,AB的垂直平分线与BC交于点E.
(1)求动点E的轨迹方程;
(2)设直线l:y=kx+m(k≠0,m>0)与E的轨迹交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.
查看答案
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,△ABC为边长为2的正三角形,点P在A1B上,且AB⊥CP.
(1)证明:P为A1B中点;
(2)若A1B⊥AC1,求三棱锥P-A1AC的体积.

manfen5.com 满分网 查看答案
某种日用品上市以后供不应求,为满足更多的消费者,某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等),按照指针所指区域的数字购买商品的件数,每人只能参加一次这个活动.
(1)某顾客自己参加活动,购买到不少于5件该产品的概率是多少?
(2)甲、乙两位顾客参加活动,求购买该产品件数之和为10的概率.

manfen5.com 满分网 查看答案
2009年11月30时3时许,位于哈尔滨市南岗区东大直街323号的大世界商城发生火灾,为扑灭某着火点,现场安排了两支水枪,如图,D是着火点,A,B分别是水枪位置,已知manfen5.com 满分网米,在A处看到着火点的仰角为60°,∠ABC=30°,∠BAC=105°,求两支水枪的喷射距离至少是多少?

manfen5.com 满分网 查看答案
已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,沿对角线BD将△ABC折起,使二面角C-BD-A为直二面角,则异面直线BD与AC所成角的余弦值为     查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.