Question

已知椭圆C₁的方程为，离心率为，两个焦点分别为F₁和F₂，椭圆C₁上一点到F₁和F₂的距离之和为12，椭圆C₂的方程为，圆C₃：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）的圆心为点A_k．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）求△A_kF₁F₂的面积；
（III）若点P为椭圆C₂上的动点，点M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，（e为椭圆C₂的离心率），求点M的轨迹．

Answer

（I）设椭圆C1的半焦距为c，利用离心率，椭圆C1上一点到F1和F2的距离之和为12，椭圆定义，求出a，b，然后求椭圆C1的方程；
（II）求出点Ak的坐标，直接求△AkF1F2的面积；
（III）椭圆C2的方程为，设M（x，y），P（x，y1），其中x∈[-4，4]．
求出，化简16（x2+y12）=9（x2+y2）．由点P在椭圆C上得，
求出点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段．
【解析】
（I）设椭圆C1的半焦距为c，
则 2a=12

解得a=6，c=3，（3分）
于是b2=a2-c2=36-27=9，（4分）
因此所求椭圆C1的方程为：（5分）
（II）点Ak的坐标为（-k，2），
则．（10分）
（III）椭圆C2的方程为，
设M（x，y），P（x，y1），其中x∈[-4，4]．
由已知得，
而e=，故16（x2+y12）=9（x2+y2）．
由点P在椭圆C上得，
化整理得9y2=112，（13分）
因此点M的轨迹方程为，（14分）
轨迹是两条平行于x轴的线段．（15分）