Question

已知函数f（x）=x²-ax+b （a，b∈R）的图象经过坐标原点，且f′_（x）=1，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_n+1+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer

（I）根据函数经过原点求出b=0，然后根据f′（x）=1，求出a的值，再根据an=Sn-Sn-1求出an的通项公式，
（II）由an+1+log3n=得bn=n-32n，即可得Tn=b1+b2+b3+…+bn=1-32+2-34+3-36+…+n-32n，再写出9Tn=34+2-36+3-38+…+n-32n+2，两式相减整理可得数列{bn}的前n项和．
【解析】
（I）∵y=f（x）的图象过原点，∴f（x）=x2-ax
由f′（x）=2x-a得f′（x）=2-a=1，∴a=1，∴f（x）=x2-x（3分）
∴Sn=n2-n，an=Sn-Sn-1=n2-n-[（n-1）2-（n-1）]=2n-2，（n≥2）（4分）
∵a1=S1=0，所以，数列{an}的通项公式为an=2n-2（n∈N+）．（6分）
（II）由an+1+log3n=得bn=n-32n，（8分）
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=1-32+2-34+3-36+…+n-32n （1）（9分）
∴9Tn=34+2-36+3-38+…+n-32n+2 （2），（10分）
（2）-（1）得8Tn=n-32n+2-9-（34+36+…+32n ）=n-32n+2-，（11分）
∴Tn=-=．（12分）