Question

平面ABDE⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，AE=2BD=4，O、M分别为CE、AB的中点．
（Ⅰ） 证明：OD∥平面ABC；
（Ⅱ）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

Answer

（I）取AC中点F，证明OF∥DB，OF=DB，得到四边形BDOF是平行四边形．故OD∥FB，从而证明OD∥面ABC．
（II）当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．先证明CM⊥面ABDE，再由ON∥CM，可得ON⊥平面ABDE．
【解析】
（I）证明：取AC中点F，连接OF、FB．∵F是AC的中点，O为CE的中点，∴OF∥EA，且OF=，
又BD∥AE，且BD=，∴OF∥DB，OF=DB，∴四边形BDOF是平行四边形．∴OD∥FB．
又∵FB⊂平面ABC，OD不在平面ABC内，∴OD∥面ABC．
（II）当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．
证明：取EM中点N，连接ON、CM，AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM⊂面ABC，
∴CM⊥面ABDE，∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON∥CM，
∴ON⊥平面ABDE．