Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足不等式≥128的最小n值．

Answer

（1）由题设条件令n=1，2，3，解得a1=1，a2=3，a3=7．
（2）由Sn=2an-n，得Sn-1=2an-1-（n-1），n≥2，n∈N*，所以an=2an-1+1，由此可知an=2n-1．
（3）由题设可知Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）•2n-1+（2n+1）•2n，则2Tn=3×22+5×23+…+（2n-1）•2n+（2n+1）•2n，再由错位相减法可求出满足不等式≥128的最小n值．
【解析】
（1）因为Sn=2an-n，令n=1
解得a1=1，再分别令n=2，n=3，解得a2=3，a3=7．
（2）因为Sn=2an-n，所以Sn-1=2an-1-（n-1），n≥2，n∈N*
两式相减得an=2an-1+1
所以an+1=2（an-1+1），n≥2，n∈N*
又因为a1+1=2，所以an+1是首项为2，公比为2的等比数列
所以an+1=2n，所以an=2n-1．
（3）因为bn=（2n+1）an+2n+1，
所以bn=（2n+1）•2n
所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）•2n-1+（2n+1）•2n①
2Tn=3×22+5×23+…+（2n-1）•2n+（2n+1）•2n②
①-②得：-Tn=3×2+2（22+23+…+2n）-（2n+1）•2n+1
=6+2×
=-2-（2n-1）•2n+1
所以Tn=2+（2n-1）•2n+1
若
则
即2n+1＞27，解得n≥6，
所以满足不等式的最小n值6．