Question

如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为左准线，直线l与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P作直线与椭圆交于A、B两点，求△ABF面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆的长轴求得椭圆方程中的a，利用椭圆的定义和求得离心率，进而求得c，则b的值可得，最后求得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设出AB的方程，代入椭圆方程整理后利用韦达定理表示出yA+yB和yAyB，进而根据S△ABF=S△PBF-S△PAF|表示出△ABF面积利用基本不等式求得面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由题意，得2a=8，∴a=4．
又，∴
∴c=2，b2=a2-c2=12．
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设过P点的直线AB方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理得（3m2+4）y2-48my+144=0，，．
而．
即．
当且仅当，即时等号成立，且满足△＞0．
∴△ABF面积的最大值是．