Question

定义在R上的偶函数f（x-2），当x＞-2时，f（x）=e^x+1-2（e为自然对数的底数），若存在k∈Z，使方程f（x）=0的实数根x∈（k-1，k），则k的取值集合是（ ）
A．{0}
B．{-3}
C．{-4，0}
D．{-3，0}

Answer

由偶函数f（x-2）可得函数y=f（x）的图象关于=-2对称，结合函数f（x）=ex+1-2在（-2，+∞）单调递增，且f（-1）＜0，f（0）=e-2＞0可知，函数f（x）=ex+1-2在（-1，0）上存在零点
由函数图象的对称性可知，当x＜-2时，存在唯一零点x∈（-5，-4），从而可求k
【解析】
∵偶函数f（x-2）的图关于y轴对称
∴函数y=f（x）的图象关于=-2对称
∵当x＞-2时，f（x）=ex+1-2
∵f（x）=ex+1-2在（-2，+∞）单调递增，且f（-1）＜0，f（0）=e-2＞0
由零点存在定理可知，函数f（x）=ex+1-2在（-1，0）上存在零点
由函数图象的对称性可知，当x＜-2时，存在唯一零点x∈（-5，-4）
由题意方程f（x）=0的实数根x∈（k-1，k），则k-1=-5或k-1=-1
k=-4或k=0
故选C