Question

如图，正四面体ABCD的外接球球心为D，E是BC的中点，则直线OE与平面BCD所成角的正切值为    ．

Answer

欲求直线OE与平面BCD所成角的正切值，需先找到直线在平面上的射影的位置，直线与它的射影所成角即直线OE与平面BCD所成角，根据四面体ABCD为正四面体，可得O点在平面BCD上的射影在DE上，在根据正四面体的性质，即可求∠OED的正切值．
【解析】
设正四面体ABCD的棱长为a，连接AE，DE，
∵四面体ABCD为正四面体，E为BC的中点，
∴AE=DE=a，O点在平面ADE上，且OE等分∠AED
过O作OH垂直平面BCD，交平面BCD与H点，则H落在DE 上，
∴∠OED为直线OE与平面BCD所成角，∠OED=∠AED
在△AED中，cos∠AED==
=，
∴cos2∠OED=cos∠AED==，sin2∠OED=
∴tan2∠OED=，tan∠OED=
故答案为