Question

设点p是椭圆（a＞0，b＞0）上一点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若 S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，则该椭圆的离心率是    ．

Answer

设△PF1F2的内切圆半径为r，根据内心的性质，结合三角形面积公式将S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2化简整理，可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．由此结合椭圆离心率公式，即可得到该椭圆的离心率．
【解析】
设△PF1F2的内切圆半径为r，则
S△IPF1=|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，S△IF1F2=|F1F2|•r，
∵S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，
∴|PF1|•r+|PF2|•r=|F1F2|•r，可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．
∴椭圆的离心率e====
故答案为：