Question

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求出该几何体的体积．
（Ⅱ）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCD．

Answer

（I）由图可以看出，几何体可以看作是以点B为顶点的四棱锥，其与底面积易求；
（II）证明线AN与面CME中一线平行即可利用线面平行的判定定理得出线面平行，由图形易得，可构造平行四边形证明线线平行，连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，即可证得；
（Ⅲ）要平面BDE⊥平面BCD，关键是在一平面中寻找另一平面的垂线，易得AN⊥平面BCD，利用AN∥EM，可得EM⊥平面BCD
，从而得证
【解析】
（Ⅰ）由题意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，AB⊥AC，且AB=AC=2
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE
∴四棱锥B-ACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面积S=6
∴，
即所求几何体的体积为4（4分）

（Ⅱ）连接MN，则MN∥CD，AE∥CD
又，所以四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM …（6分）
∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，所以，AN∥平面CME；    …（8分）
（Ⅲ）∵AC=AB，N是BC的中点，AN⊥BC，平面ABC⊥平面BCD
∴AN⊥平面BCD  …（10分）
由（Ⅱ）知：AN∥EM
∴EM⊥平面BCD
又EM⊂平面BDE
所以，平面BDE⊥平面BCD．…（12分）