Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求点C到平面A₁AB的距离．

Answer

（1）BC⊥AC，根据A1D⊥底ABC，得到A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，从而BC⊥AC1，又因BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥底A1BC；
（2）作DE⊥AB于点E，连A1E作DF⊥A1E，A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D=D，满足线面垂直的判定定理则AB⊥平面A1DE，又DF⊂面A1DE，所以AB⊥DF，A1E∩AB=E，DF⊥平面A1AB，在Rt△A1DE中，从而求出DF的长度，而D是AC中点，所以C到面A1AB距离是2DF．
证明：（1）∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A1D⊥底ABC，
所以A1D⊥BC，（2分）A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，
所以BC⊥AC1（3分）
因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，
所以AC1⊥底A1BC（1分）
【解析】
（2）作DE⊥AB于点E，连A1E作DF⊥A1E，
因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D=D，
所以AB⊥平面A1DE，（2分）
又DF⊂面A1DE，所以AB⊥DF，A1E∩AB=E，
所以DF⊥平面A1AB，（2分）Rt△A1DE中，，
因为D是AC中点，所以C到面A1AB距离．（2分）