Question

设G为△ABC的重心，，则的值=    ．

Answer

欲求的值，由于=，故须求出三角形的内角及边的比值，设出三角形的三边分别为a，b，c，根据由G为三角形的重心，根据中线的性质及向量的加法法则分别表示出 ，和 ，代入化简后的式子中，然后又根据 等于 加 ，把上式进行化简，最后得到关于 和 的关系式，由 和 为非零向量，得到两向量前的系数等于0，列出关于a，b及c的方程组，不妨令b=，，即可求出a与b的值，然后根据余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，同理求得cosC即得．
【解析】
因为
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
a +2b +2c =，
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3 =+，3 =+，3 =+，
代入上式得：a（ +）+2b（ +）+2c（ +）=，
又 =+，上式可化为：
a（2 +）+2b（ +）+2c（-+2 ）=，
即（2a-2b-2c） +（-a-2b+4c） =，
则有 ，令b=，解得：，
所以cosB===，
cosC===，
∴====-
故答案为：