Question

已知动点P（p，-1），Q（p，），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C．
（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；
（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线．

Answer

（1）先用消参法求出P Q中点M的轨迹方程，再求出带参数p的直线l的方程，与点M的轨迹方程联立，再判断△的大小，即可得到直线l与曲线C一定有两个公共点，
（2）先解（1）中联立方程组得到的一元二次方程，得到A点坐标，利用斜率公式求出AP的斜率，再用导数求出斜率，观察两者是否相等，即可得证．
【解析】
（1）直线l的方程是：，即，经过定点（0，1）；
又M（p，），设x=p，y=，消去p，得到的轨迹方程为：．
由有x2-2px-4=0，其中△=4p2+16，所以l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点
（2）由x2-2px-4=0，设A（），
则=，
又函数的导函数为，故A处的切线的斜率也是，从而AP是曲线C的切线．对于另一个解同样可证．