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如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=...

manfen5.com 满分网如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=manfen5.com 满分网
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(3)求二面角O-AC-D的大小.
(1)设O是等腰直角三角形ABD斜边BD的中点,通过正三角形,以及计算证明AO⊥CO,从而证明AO⊥平面BCD; (2)利用三面角公式直接求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦,然后求出角的大小; (3)利用射影面的面积与被射影面的面积的比,求二面角O-AC-D的大小. 【解析】 (1)设O是等腰直角三角形ABD斜边BD的中点, 所以有AO⊥BD,可求得AO=1,CO=,又有AC=2 所以∠AEC=90°,即AO⊥CO BD,CO是平面BCD内两条相交直线,故有AO⊥平面BCD. (2)由(1)可知BD⊥面AOC, 所以面BCD⊥面AOC,AO=1,CO=,AC=2 A点在BCD面内的投影为O, cos<AB,CD>=cos∠ABD•cos∠BDC== 异面直线AB与CD所成角的大小:arccos. (3)三角形AOC的面积为:=;三角形ADC的面积为:=; 所以二面角O-AC-D的大小余弦为: 二面角O-AC-D的大小:arccos
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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