Question

已知椭圆C1+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C₁上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

Answer

（1）根据右焦点F2也是拋物线C2：y2=4x的焦点，且|MF2|=，可求出F2，根据抛物线的定义可求得点M的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C1的方程；
（2）①直线BD所在的直线的斜率为1，且过点（0，），可求出BD的方程，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线ACy=-x+m，联立消去y，得到关于x的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理即可求得AC的中点，在直线BD上，可求直线AC的方程；②ABCD为菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，菱形ABCD面积的最大值，转化为求弦AC的最大值，利用韦达定理求出AC的长度，并求其最大值即可．
【解析】
（1）设M（x1，y1）∵．
由抛物线定义，，∴，∴．
∴在c1上，，又b2=a2-1
∴9a4-37a2+4=0∴a2=4或舍去．
∴a2=4，b2=3
∴椭圆c1的方程为．
（2）①直线BD的方程为
∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC为y=-x+m，
由，得7x2-8mx+4m2-12=0
∵A，C、在椭圆C1上，∴△＞0解得，
设A（x1，y1），c（x2，y2），
则，，
的中点坐标为．
由ABCD为菱形可知，点在直线上，
∴．
∴直线AC的方程为y=-x-1
即x+y+1=0．
②∵ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
∴|AB|=|BC|=|CA|，
∴菱形ABCD的面积

=．
∴当m=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．