Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，对于任意的n∈N*，且n≥3恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）直接根据已知条件得到Sn-Sn-1=Sn-1，即，进而求出数列{Sn}的通项公式；再根据前n项和与通项之间的关系即可求出数列{an}的通项公式；
（2）先求出{bn}的通项公式，再利用裂项求和法求出不等式左边的表达式即可求出m的取值范围．
【解析】
（1）∵an=an-1+an-2+…+a2+a1（n∈N*，n≥2），
∴Sn-Sn-1=Sn-1，∴，
∴数列{Sn}是以S1=a1=1为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn=2n-1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2．
∵a1=1不适合上式，
∴数列的通项公式为
（2）当n∈N*，且n≥3时，bn=n-2，，
∴恒成立，
∴m≥1．