Question

已知双曲线的离心率为e，右顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，点E为右准线上的动点，∠AEF₂的最大值为θ．
（1）若双曲线的左焦点为F₁（-4，0），一条渐近线的方程为3x-2y=0，求双曲线的方程；
（2）求sinθ（用e表示）；
（3）如图，如果直线l与双曲线的交点为P、Q，与两条渐近线的交点为P'、Q'，O为坐标原点，求证：．

Answer

（1）方法1：设双曲线的方程为，其渐近线的方程为．因为一条渐近线的方程是，所以，由此能求出双曲线的方程．
方法2：双曲线的一条渐近线是3x-2y=0，设双曲线的方程为．由焦点是（-4，0），得4λ+9λ=16，由此能求出双曲线的方程．
（2）设经过点A、F2的圆C与准线相切于点M，交EF2于点N．由∠AMF2=∠ANF2≥∠AEF2，知∠AMF2=θ．由A（a，0），F2（c，0），知，由此能求出sinθ（用e表示）．
（3）方法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=mx+n，代入中得（b2-a2m2）x2-2a2mnx-a2（n2+b2）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为G（α，β），则．由此能证明．
方法2：当直线l的斜率不存在或为零时，即直线l垂直于x轴或垂直于y轴时，由对称性可知线段PQ与线段P'Q'有共同的中点，所以|PP'|=|QQ'|．设l：y=kx+m（k≠0）．设PQ的中点为G（x，y），P'Q'的中点为G'（x'，y'），则由点差法可得，且，由此能够证明．
【解析】
（1）方法1 
 双曲线的左焦点为F1（-4，0），
设双曲线的方程为，
则其渐近线的方程为，即．
又∵一条渐近线的方程是，
∴，得，．
故双曲线的方程为．
方法2
∵双曲线的一条渐近线是3x-2y=0，即，
∴可设双曲线的方程为．
∵焦点是（-4，0），
∴由得4λ+9λ=16，
∴，
∴双曲线的方程为．
（2）设经过点A、F2的圆C与准线相切于点M，交EF2于点N．
∵∠AMF2=∠ANF2≥∠AEF2（当E与M重合时取“=”），
∴∠AMF2=θ．
∵A（a，0），F2（c，0），
∴，
又∵，
∴圆C的半径．
由正弦定理得，
∴．
（3）证明：方法1 
 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=mx+n，
代入中得（b2-a2m2）x2-2a2mnx-a2（n2+b2）=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为G（α，β），
则．
同理，将y=mx+n代入渐近线方程中，
得（b2-a2m2）x2-2a2mnx-a2n2=0．
设P'（x'1，y'1），Q'（x'2，y'2），
线段P'Q'的中点为G'（α'，β'），
则=，
∴α=α'，即线段PQ与线段P'Q'有共同的中点．
当直线l的斜率不存在时，即直线l垂直于x轴时，
由对称性可知线段PQ与线段P'Q'有共同的中点
．∴，即．
方法2  
当直线l的斜率不存在或为零时，
即直线l垂直于x轴或垂直于y轴时，
由对称性可知线段PQ与线段P'Q'有共同的中点，
∴|PP'|=|QQ'|．
当直线l的斜率存在且不为零时，可设l：y=kx+m（k≠0）．
设PQ的中点为G（x，y），P'Q'的中点为G'（x'，y'），
则由点差法可得，
且，
∴点G、G'在直线l'：，
即上．
又∵点G、G'在直线l：y=kx+m上，
∴点G、G'同为直线l与l'的交点．
故点G、G'重合，
∴，
即．