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如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、D...

如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.
(I)求证:EF⊥B1C;
(II)求二面角E-FC-D的正切值;
(III)求三棱锥F-EDC的体积.

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(I)由已知中在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点我们可由B1C⊥AB,B1C⊥BC1,得到B1C⊥平面ABC1D1,进而B1C⊥BD1,再由中位线定理即可得到EF⊥B1C; (II)CF⊥BD,DD1⊥CF,结合线面垂直的判定定理可得DD1⊥平面ABCD,进而可得CF⊥平面BDD1B1,则∠EFD为二面角E-FC-D的平面角,解三角形EFD,即可求出二面角E-FC-D的正切值; (III)由VF-EDC=VE-FDC,我们求出三棱锥的底面面积和高,代入棱锥的体积公式,即可得到答案. 证明:(I)由正方体的几何特征可得: ∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB∩B1C=B ∴B1C⊥平面ABC1D1, ∴B1C⊥BD1, 又∵EF∥BD1, ∴EF⊥B1C.…(6分) (II)∵点F为DB的中点,且ABCD为正方形, ∴CF⊥BD. 又DD1⊥平面ABCD, ∴DD1⊥CF. 而DD1∩DB=D, ∴CF⊥平面BDD1B1. 又EF⊂平面BDD1B1, ∴CF⊥EF,故∠EFD为二面角E-FC-D的平面角. 在Rt△EFD中,DE=1,DF=, ∴tan∠EFD==. 因而二面角二面角E-FC-D的正切值为. …(9分) (III)∵DE=1,FC=DF=, ∴VF-EDC=VE-FDC=×DE××DF×FC=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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