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已知函数f(x)=x3+x2-2ax-3. (Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)在[...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网x3+manfen5.com 满分网x2-2ax-3.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)在[-2,0]上的最小值;
(Ⅱ)求f(x)的单调增区间.
(Ⅰ)当a=1时f′(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2)令f′(x)>0,得(x+1)(x-2)>0,解得x<-1或x>2.可以判断f(x)在(-∞,-1)上为增函数.在(-1,2)上为减函数.在(2,+∝)上为增函数,f(-2)=--2+4-3,f(0)=-3,有f(-2)<f(0). (Ⅱ)f′(x)=x2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2)令f′(x)>0,即(x+a)(x-2)>0.-a>2时,即a<-2,不等式①的解为x<2或x>-a,当-a<2时,即a>-2,不等式①的解为x<-a或x>2,当-a=2时,即a=-2,不等式①的解为x∈R,且x≠2,由f(x)在x=2处连续所以f(x)的单调增区间是实数集R.根据导数的意义可以判断函数的单调性. 【解析】 (Ⅰ)a=1时,函数解析式为其定义域为R. f′(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2) 令f′(x)>0,得(x+1)(x-2)>0,解得x<-1或x>2. 同样,令f′(x)<0,得(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2. 所以f(x)在(-∞,-1)上为增函数.在(-1,2)上为减函数.在(2,+∝)上为增函数. 故f(x)在[-2,0]上的最小值是f(-2)与f(0)中的较小者. f(-2)=--2+4-3,f(0)=-3,有f(-2)<f(0). 所以f(x)在[-2,0]上的最小值为f(-2)=-. (Ⅱ)f′(x)=x2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2) 令f′(x)>0,即(x+a)(x-2)>0.                         ① 当-a>2时,即a<-2,不等式①的解为x<2或x>-a, 所以f(x)的单调增区间是(-∞,2)和(-a,+∝); 当-a<2时,即a>-2,不等式①的解为x<-a或x>2, 所以f(x)的单调增区间是(-∝,-a)和(2,+∞); 当-a=2时,即a=-2,不等式①的解为x∈R,且x≠2,由f(x)在x=2处连续所以f(x)的单调增区间是实数集R. 综上: (1)当a<-2时,f(x)的单调增区间是(-∞,2)和(-a,+∞); (2)当a>-2时,f(x)的单调增区间是(-∞,-a)和(2,+∞); (3)当a=-2时,f(x)在实数集R上的单调递增.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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