Question

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足条件a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
（1）设{b_n}是7项的“对称数列”，其中b₁，b₂，b₃，b₄是等差数列，且b₁=2，b₄=11．依次写出{b_n}的每一项；
（2）设{c_n}是49项的“对称数列”，其中c₂₅，c₂₆，…，c₄₉是首项为1，公比为2的等比数列，求{c_n}各项的和S；
（3）设{d_n}是100项的“对称数列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为2，公差为3的等差数列．求{d_n}前n项的和S_n（n=1，2，…，100）．

Answer

（1）由b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1=2，b4=11，先求b1，b2，b3，b4，然后由对称数列的特点可写出数列的各项．
（2）由c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，先求出c25，c26，…，c49通项，结合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和
（3）由d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列，可求该数列d51，d52，…，d100的通项，由对称数列的特点，结合等差数列的特点，求数列的和
【解析】
（1）设数列{bn}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）S=c1+c2+…+c49=2（c25+c26+…+c49）-c25=2（1+2+22+…+224）-1=2（225-1）-1=226-3=67108861．
（3）d51=2，d100=2+3×（50-1）=149．
由题意得d1，d2，，d50是首项为149，公差为-3的等差数列．
当n≤50时，Sn=d1+d2+…+dn=．
当51≤n≤100时，Sn=d1+d2+…+dn=S50+（d51+d52+…+dn）
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综上所述，