Question

已知函数f（x）=ln（x+1），，设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）当x＞0时，比较f（x）和h（x）的大小；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令2，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，T_2n＜．

Answer

（1）构造函数，求导，求函数的单调性和最值；（2）根据Sn=2an-2n+1及，可求得数列{an}的通项公式；
（3）把（2）求得的结果代入，求得，∴进行变形，利用（1）的结论即可证明不等式．
解（1）令，则，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，
即当x＞0时，f（x）＞h（x），
（2）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是，所以数列是公差为1的等差数列．
又S1=2a1-22，所以a1=4．
所以，故an=（n+1）•2n．
（3）因为，
则当n≥2时，==．
下面证
由（1）知当x＞0时，
令，，，
，，
以上n个式相加，即有
∴．