Question

若a＞2，则函数f（x）=x³-3ax+3在区间（0，2）上零点的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

根据a＞2，分析导函数的符号，确定函数的单调性，验证f（0），f（2）的符号，结合图象可知函数f（x）=x3-3ax+3 在（0，2）上的零点个数．
【解析】
∵函数f（x）=x3-3ax+3
∴f′（x）=3x2-3a=3（x2-a）=3（x+）（x-），
∵a＞2，
令f′（x）＞0得x＞，得函数f（x）在（，+∞）上是增函数，
令f′（x）＜0可得0＜x＜，得函数f（x）在（0，）上是减函数，
而f（0）=3＞0，f（）=（）3-3a+3=3-2a＜0，
∴函数f（x）=x3-3ax+3在（0，）上零点有一个．
又f（2）=23-3a×2+3=11-6a＜0，
∴函数f（x）=x3-3ax+3在（，2）上没有零点．
则函数f（x）=x3-3ax+3在区间（0，2）上零点的个数为1，
故选B．