Question

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）若f（1）=2，当函数y=f（x）存在极值时，求函数f（x）极小值的取值范围．

Answer

（I）已知函数的解析式f（x）=x3-3ax+b，把点（2，f（2））代入，再根据f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求出a，b的值；
（II）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后求出极值，然后在利用导数研究极值的最值即可求出函数f（x）极小值的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3x2-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴
（Ⅱ）b=3a+1∵f′（x）=3（x2-a）（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由 ，
当 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当 时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴此时 是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点．
所以，极小值为f（）=3a-2a+1，t=，
h（t）=-2t3+3t2+1，h′（t）=-6t2+6t=-6t（t-1），t∈（0，+∞），
在（0，1）增，（1，+∞）减，所以最大值为2，所求为（-∞，2]（共10分）