Question

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60，
（1）求点A到平面PBD的距离的值；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer

（1）点A到面PBD的距离可以转化成向量DA在面PBD的法向量量上的投影的长度来求解；
（2）二面角A-PB-D的余弦值可以转化成求平面PAB与平面PBD的法向量夹角的余弦值问题来解决，求出两个平面的法向量，用数量积公式求两个向量夹角的余弦值，此余弦值与二面角的余弦值的关系是绝对值相等，从图可以看出所求二面角的余弦值为正，故可求．
【解析】
由题意，连接AC，BD交于点O，由于四边形ABCD是菱形可得AC，BD互相垂直，以OA、OB所在直线分别x轴，y轴，以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，（2分）
（Ⅰ）设平面PDB的法向量为，
由，得，令，
所以点A到平面PDB的距离d==（5分）
（Ⅱ）设平面ABP的法向量，，
由，得，令
，∴，
∴=，而所求的二面角与互补，
所以二面角A-PB-D的余弦值为