Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a≠0），在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若b＜1，g（x）=f（x）-（2^m）•x在[2，4]上单调，求m的取值范围．

Answer

（1）函数对称轴为x=2，当a＞0时，函数开口向上，在区间[2，3]单增，则可知在2处去最小值，在处去最大值，分类讨论即可求出a，b的值；
（2）若b＜1，则根据（1）中求得值，即可确定a，b的值，从而求出函数g（x）解析式，根据函数的单调性，可求出m的取值范围．
解（1）f（x）=a（x-1）2+2+b-a
①当a＞0时，f（x）在[2，3]上为增函数
故
②当a＜0时，f（x）在[2，3]上为减函数
故
（2）∵b＜1
∴a=1b=0即f（x）=x2-2x+2g（x）=x2-2x+2-（2m）x=x2-（2+2m）x+2或，
∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26