Question

已知函数f（x）=x+1，设g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）
（1）求g₂（x），g₃（x）的表达式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表达式（直接写出猜想结果）
（2）若关于x的函数在区间（-∞，-1]上的最小值为6，求n的值．
（符号“”表示求和，例如：．）

Answer

（1）根据g1（x）=f（x），gn（x）=f（gn-1（x）），令n=2，3，即可求得求g2（x），g3（x）的表达式，并猜想gn（x）（n∈N*）的表达式；
（2）根据（1）的结果代入求出，转化为二次函数利用配方法求最值，讨论对称轴是否在定义域内．
【解析】
（1）∵g1（x）=f（x）=x+1，
∴g2（x）=f（g1（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，
g3（x）=f（g2（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
∴猜想gn（x）=x+n
（2）∵gn（x）=x+n，
∴
∴
1°当，即n≤2时，函数在区间（-∞，-1]上是减函数∴当x=-1时，，即n2-n-10=0，该方程没有整数解
2°当，即n＞2时，，解得n=4，
综上所述，n=4