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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为B(0,-1),且其右焦点到直线的...

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为B(0,-1),且其右焦点到直线manfen5.com 满分网的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为k(k≠0),且过定点manfen5.com 满分网的直线l,使l与椭圆交于两个不同的点M、N,且|BM|=|BN|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(1)设椭圆的方程为,由已知得b=1.设右焦点为(c,0),由题意得,由此能求出椭圆的方程. (2)直线l的方程y=kx+,代入椭圆方程,得(1+3k2)x2+9kx+=0.由△=81k2-15(1+3k2)>0得,设点M(x1,y1),N(x2,y2),则,设M、N的中点为P,则点P的坐标为.由此入手能够导出直线l的方程. 【解析】 (1)设椭圆的方程为,由已知得b=1. 设右焦点为(c,0),由题意得,∴, ∴a2=b2+c2=3. ∴椭圆的方程为. (2)直线l的方程y=kx+,代入椭圆方程,得 (1+3k2)x2+9kx+=0. 由△=81k2-15(1+3k2)>0得, 设点M(x1,y1),N(x2,y2), 则, 设M、N的中点为P,则点P的坐标为. ∵|BM|=|BN|,∴点B在线段MN的中垂线上. ,化简,得. ∵,∴, 所以,存在直线l满足题意,直线l的方程为 或.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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