Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（x∈R）在任意一点（x，f（x））处的切线的斜率为k=（x-2）（x+1）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若y=f（x）在-3≤x≤2上的最小值为，求y=f（x）在R上的极大值．

Answer

（1）由f′（x）=3ax2+2bx+c和f（x）在（x，f（x））处的切线斜率k=（x-2）（x+1），能求出求a，b，c的值．
（2）由f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），能求出函数f（x）的单调区间．
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，列表能求出函数f（x）在R上的极大值．
【解析】
（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，（1分）
而f（x）在（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=3ax2+2bx+c=（x-2）（x+1），
∴3a=1，2b=-1，c=-2，
∴a=，b=-，c=-2．（3分）
（2）∵f（x）=，
由f′（x）=x2-x-2
=（x-2）（x+1）≥0，
知f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上是增函数，
由f′（x）=（x-2）（x+1）≤0，
知f（x）在[-1，2]上为减函数．（7分）
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，可列表

x [-3，-1） -1 （-1，2]
f′（x） + -
f（x） ↑ 极大值 ↓

f（x）在[-3，2]上的最小值产生于f（-3）和f（2），
由f（-3）=-，f（2）=，
知f（-3）＜f（2），（9分）
于是f（-3）=-，
则d=10．（11分）
∴f（x）max=f（-1）=，
即所求函数f（x）在R上的极大值为．（12分）