Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长与侧棱长都是2，D，E分别是BB₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积；
（Ⅱ）求证：BE∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求证：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer

（Ⅰ）根据题意知，正三棱柱的底面是正三角形，侧面均为正方形，因此不难计算得三棱柱ABC-A1B1C1的全面积．
（Ⅱ）欲证直线与平面平行先找直线与直线平行，由此利用三角形的中位线定理，得出四边形BDC1E是平行四边形，最后结合直线与平面平行的判定定理，
得到BE∥平面ADC1；
（Ⅲ）取AC中点H，连OH、BH在△ACC1中利用中位线定理，结合BD∥CC1且BD=CC1，可证得四边形BDOH是平行四边形．最后利用OD的平行线BH与平面ACC1A1垂直，得到OD的与平面ACC1A1，根据平面与平面垂直的判定定理得到平面ADC1⊥平面ACC1A1．
【解析】
（I）解由三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，且棱长均为2，
可知底面是正三角形，侧面均为正方形，
故三棱柱ABC-A1B1C1的全面积．
（II）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为D，E分别是BB1，CC1的中点，
可知，又BD∥EC1，
所以四边形BDC1E是平行四边形，故BE∥DC1，
又DC1⊂平面ADC1，BE⊄平面ADC1，
所以BE∥平面ADC1．
（III）取AC中点H，连接OH、BH
∵在△ACC1中，OH是中位线
∴，结合BD∥CC1且BD=CC1
得四边形BDOH是平行四边形
∴BH∥OD
∵BH⊥平面ACC1A1
∴OD⊥平面ACC1A1
因为OD在平面ADC1内
∴平面ADC1⊥平面ACC1A1