Question

已知数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b_n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），b₁=f（q-2），b₃=f（q）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，都有成立，求S_n．

Answer

（1）首先利用f（x）的解析式表示出a1，a5，b1，b3，然后利用等差数列和等比数列的通项公式，建立方程，求解即可．
（2）首先根据题设中的递推公式可得c1=3，n≥2时，an+1-an==2，故可求出cn，然后，利用错位相减法求出sn．
【解析】
（1）∵数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，f（x）=x2，且a1=f（d-1），a5=f（2d-1），
∴（d-1）2+4d=（2d-1）2，
∴d=2，a1=1．
∴an=2n-1；
∵数列{bn}是公比为q的（q∈R）的等比数列，f（x）=x2，且b1=f（q-2），b3=f（q），
则b2=q
∴q2=q2（q-2）2，
解得q=3，或q=1，又b1=1．
∴bn=3n-1；或bn=1
（2）∵对一切n∈N*，都有成立，
∴当n=1时，，
∵a1=3，b1=1，
∴c1=3，S1=3；
当n≥2时，∵，
∴++…+=an，
∴，
∴cn=2n•3n-1，
故cn=，
∴Sn=c1+c2+…+cn
=3+2•2•3+2•3•32+2•n•3n-1
=2（1•3+2•31+3•32+n•3n-1）+1
设x=1•3+2•31+3•32+…+n•3n-1，①
则3•x=1•31+2•32+…+（n-1）•3n-1+n•3n，②
②-①得2x=n•3n-（3n-1+3n-2+…+3）=，
∵sn=2x+1，
∴，
又S1=3满足上式，
综上，．