Question

已知双曲线的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：B、P、N三点共线；
（3）求△BMN面积的最小值．

Answer

（I）由题意得A（a，0），B（，又⇒…①．，由题设知⇒
联立①、②，得a=2，c=4．由此可得双曲线的方程．
（II）由题设得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4，由⇒（3t2-1）y2+24ty+36=0，由此入手可证出B、P、N三点共线．
（III）由题意知x1x2=（ty2+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16=，所以
=，由此能求出△BMN面积的最小值．
【解析】
（I）由题意得A（a，0），B（，又⇒…①
由⇒⇒
联立①、②，得a=2，c=4
∴双曲线的方程为．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4
由⇒（3t2-1）y2+24ty+36=0
∴
∵（x1-1）y2-（x2-1）（-y1）=x1y2+x2y1-（y1+y2）=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1=（ty1+4）y2+（ty2+4）y2

∴向量与共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点
∴x1x2=（ty2+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16
=⇒⇒
∴
=
令u=1-3t2，u∈（0，1]
∴=
由u∈（0，1]⇒
∴，即t=0时，△BMN面积最小值为18．