Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中点，．
（I）证明AB₁∥平面DBC₁
（II）求异面直线AB₁与BC₁所成的角
（III）求以BC₁为棱，DBC₁与CBC₁为面的二面角的度数．

Answer

（I）要证明线面平行，需要在面上找一条和已知直线平行的直线，根据四边形B1BCC1是矩形．连接B1C交BC1于E，则B1E=EC．连接DE，在△AB1C中，AD=DC，得到DE∥AB1，这样题目得证．
（II）以DB为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，构造两个向量的方向向量，方向向量所成的角的余弦值的绝对值就是要求的角的余弦值，本题比较特殊是一个直角．
（III）要求两个平面所成的角，需要先写出两个平面的法向量，其中这两个平面有一个法向量是已知的，另一个需要设出来，再根据法向量与平面上的向量数量积等于0，写出一个法向量，根据向量所成的角得到结果．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，
∴四边形B1BCC1是矩形．
连接B1C交BC1于E，则B1E=EC．
连接DE，在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1，
又AB1⊄平面DBC1，DE⊂平面DBC1，
∴AB1∥平面DBC1．      
（Ⅱ）设D1是A1C1的中点，则DD1⊥平面ABC．
所以，以DB为x轴，DC为y轴，DD1为z轴（如图）建立空间直角坐标系．
设AB=2，则，C（0，1，0），A（0，-1，0），，．
∴，，
∵，∴，
即，AB1与BC1所成的角为90°．                           
（Ⅲ）∵BC的中点，
∴，
∴可取平面CBC1的法向量为．
设平面BC1D的法向量为，
则⇒
∴可取．
∵，
∴面DBC1与面CBC1所成的二面角为45°．