Question

已知数列{a_n}．{b_n}满足：a₁=b₁=1，a₄=b₈，a_n+1=2a_n+1，b_n+2-2b_n+1+b_n=0，n∈N^*
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）通过an+1=2an+1，推出{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
求数列{an} 的通项公式；利用bn+2-2bn+1+bn=0，推出{bn}是等差数列．求出通项公式．
（II）写出an•bn的表达式，求出它的前n项和Sn的表达式，利用错位相减法求出数列{an•bn}的前n项和Sn．
【解析】
（I）∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），…（2分）
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴an+1=2n，即an=2n-1，n∈N*．                  …（4分）
∵bn+2-2bn+1+bn=0，∴，n∈N*，∴{bn}是等差数列．
∵b1=1，b8=a4=15，∴d=2，
∴bn=1+2（n-1）=2n-1，n∈N*．                     …（6分）
（II）∵an•bn=（2n-1）（2n-1）=（2n-1）•2n-（2n-1），
∴Sn=1×21+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n-（1+3+…+2n-1）．…（7分）
设A=1×21+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，
则2A=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1，…（9分）
以上两式相减得：A=-2-2（22+23+…+2n）+（2n-1）×2n+1=（2n-3）×2n+1+6，
因此，Sn=（2n-3）×2n+1+6-n2．                     …（12分）