Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中a≠0
（I）若a=1，求函数f（x）在区间[-1，2]上最大值和最小值；
（II）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）上均为增函数，求a的取值范围．

Answer

（I）将a的值代入，求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，同时求出函数的单调递减区间，求出函数的极值，再求出函数在区间端点的值，从中选出最值．
（II）求出f（x）的导函数，求出g（x）的对称轴，通过对a的符号的讨论，写出函数的单调区间的端点与区间（a，a+2）的端点的关系，列出不等式，求出a的范围．
【解析】
（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x3+x2-x+1，
∴，且x∈[-1，2]．                  
∴f（x）在区间上递减，上递增，
∴f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（-1）=2与f（2）=11的最大者比较，
即f（x）在区间[-1，2]上的最大值为f（2）=11，最小值为． 
（Ⅱ）∵．    
当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和上是增函数，g（x）在上是增函数．
由题意得解得a≥1．                        
当a＜0时，f（x）在和（-a，+∞）上是增函数，g（x）在上是增函数．
由题意得解得a≤-3．
综上，a的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．