Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点．
求证：（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁．
（3）若M是CC₁的中点，求证：平面AB₁D₁⊥平面MB₁D₁．

Answer

（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1连接AO1，由正方体的几何特征，我们易得到C1O∥AO1，结合线面平行的判定定理，即可得到C1O∥面AB1D1；
（2）由正方体的几何特征，我们可得CC1⊥面A1B1C1D1，进而得到A1C⊥B1D1及A1C⊥AB1，由线面垂直的判定定理，即可得到A1C⊥面AB1D1．
（3）若M是CC1的中点，设B1D1的中点为N，则AN⊥B1D1，MN⊥B1D1，由勾股定理，我们可以判断出△AMN是RT△，进而根据面面垂直的判定定理得到平面AB1D1⊥平面MB1D1．
证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴A1ACC1是平行四边形
∴A1C1∥AC且A1C1=AC
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
∴O1C1∥AO且O1C1=AO
∴AOC1O1是平行四边形
∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1
∴C1O∥面AB1D1（5分）
（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1
∴CC1⊥B1D!
又∵A1C1⊥B1D1，
∴B1D1⊥面A1C1C
即A1C⊥B1D1
同理可证A1C⊥AB1，
又D1B1∩AB1=B1
∴A1C⊥面AB1D1（9分）
（3）设B1D1的中点为N，则AN⊥B1D1，MN⊥B1D1，
则
∴AN2+MN2=AM2，
∴△AMN是RT△，
∴AN⊥MN，
∴AN⊥面MB1D1，
∴面AB1D1⊥面MB1D1．