Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，．
（1）求a₂，a₃．
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）把n=1代入已知中，由a1的值即可求出a2的值，然后由a1和a2的值，把n=2代入中即可求出a3的值；
（2）根据数列的递推式把an+1=Sn+1-Sn代入中，确定出数列Sn是等比数列，由首项和公比写出数列Sn的通项公式，当n=1时，根据S1=a1得到a1的值，当n≥2时，再根据即可得到an的通项公式，写出数列{an}的通项的分段函数即可；
（3）根据（1）中求出的an的通项公式列举出数列{nan}的前n项和Tn的各项，当n=1时求出T1的值，当n≥2时，求出Tn，记作①，两边乘以3得到一个等式，记作②，①-②，根据等比数列的前n项和公式化简即可求出Tn的通项公式，把求出的T1代入也满足，进而求出数列{nan}的前n项和Tn．
【解析】
（1）令n=1，得到S1=a1=a2，由a1=1，得到a2=2，
令n=2，得到S2=a1+a2=a3，
则a3=2（1+2）=6；（3分）
（2）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn，
∴．
又∵S1=a1=1，
∴数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列，Sn=3n-1（n∈N*）．（5分）
当n≥2时，an=2Sn-1=2•3n-2（n≥2），
∴；（8分）
（3）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，
当n=1时，T1=1；
当n≥2时，Tn=1+4•3+6•31+…+2n•3n-2①，
3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1②，
①-②得：-2Tn=-2+4+2（31+32+…+3n-2）-2n•3n-1
=
=-1+（1-2n）•3n-1．
∴．
又∵T1=a1=1也满足上式，
∴．（14分）