Question

汉诺塔问题是根据一个传说形成的一个问题：有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的穿孔圆盘，按下列规则，把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上．
①每次只能移动1个碟片；②大盘不能叠在小盘上面．
如图所示，将A杆上所有碟片移到C杆上，B杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一个杆子移动到另一个标子为移动一次，记将A杆子上的n个碟片移动到C杆上最少需要移动a_n次．
（Ⅰ）写出a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列{b_n}的前n项和Sn．

Answer

（Ⅰ）当n=1时，从A杆移到C杆上有一种方法A→C，即a1=1；当n=2时，从A杆移到C杆上分3步，即A→B，A→C，B→C，有三种方法，即a2=3，当n=3时，从A杆移到C杆上分七步，即A→C，A→B，C→B，A→C，B→A，B→C，A→C，有七种方法，即a3=7；同理，得a4=15；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{an}的通项公式为an=2n-1；现用数学归纳法证明，①验证n=1时，an成立；②假设当n=k（k≥1）时，ak=2k-1成立，证明当n=k+1时，ak+1=2k+1-1也成立；即证得数列{an}的通项公式是an=2n-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an=2n-1，==，所以sn=+++…+，易得sn=+++…+；两式相减，得sn，从而得sn．
【解析】
（Ⅰ）由题意，知a1=1，a2=3，a3=7，a4=15．
（Ⅱ）由（Ⅰ）推测，数列{an}的通项公式为an=2n-1．
下面用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，从A杆移到C杆上只有一种方法，即a1=1，这时an=1=21-1成立；
②假设当n=k（k≥1）时，ak=2k-1成立．
则当n=k+1时，将A杆上的k+1个碟片看做由k个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将A杆上的k个碟片移到B杆上有ak=2k-1种方法，再将最底层1张碟片移到C杆上有1种移法，最后将B杆上的k个碟片移到C杆上（此时底层有一张最大的碟片）又有ak=2k-1种移动方法，故从A杆上的k+1个碟片移到C杆上共有ak+1=ak+1+ak=2ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1种移动方法．
所以当n=k+1时，an=2n-1成立．
由①②可知数列{an}的通项公式是an=2n-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an=2n-1，所以，bn===；
∴sn=+++…+①；
sn=+++…+②；
①-②，得sn=+++…+-；
∴，
∴．