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高中数学试题
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已知函数把方程f(x)=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式...
已知函数
把方程f(x)=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( )
A.
(n∈N
*
)
B.a
n
=n(n-1)(n∈N
*
)
C.a
n
=n-1(n∈N
*
)
D.a
n
=2
n
-2(n∈N
*
)
函数y=f(x)与y=x在(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的交点依次为(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),…(n+1,n+1).即方程f(x)-x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次为3,4,…n+1.方程f(x)-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0,1,2,3,4,…其通项公式为an=n-1. 【解析】 若0<x≤1,则-1<x-1<0,得f(x)=f(x-1)+1=2x-1, 若1<x≤2,则0<x-1≤1,得f(x)=f(x-1)+1=2x-2+1 若2<x≤3,则1<x-1≤2,得f(x)=f(x-1)+1=2x-3+2 若3<x≤4,则2<x-1<3,得f(x)=f(x-1)+1=2x-4+3 以此类推,若n<x≤n+1(其中n∈N),则f(x)=f(x-1)+1=2x-n-1+n, 下面分析函数f(x)=2x的图象与直线y=x+1的交点 很显然,它们有两个交点(0,1)和(1,2), 由于指数函数f(x)=2x为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. 然后①将函数f(x)=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f(x)=2x-1和y=x的图象, 取x≤0的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0). 即当x≤0时,方程f(x)-x=0有且仅有一个根x=0. ②取①中函数f(x)=2x-1和y=x图象-1<x≤0的部分,再同时向上和向右各平移一个单位, 即得f(x)=2x-1和y=x在0<x≤1上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(1,1). 即当0<x≤1时,方程f(x)-x=0有且仅有一个根x=1. ③取②中函数f(x)=2x-1和y=x在0<x≤1上的图象,继续按照上述步骤进行, 即得到f(x)=2x-2+1和y=x在1<x≤2上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(2,2). 即当1<x≤2时,方程f(x)-x=0有且仅有一个根x=2. ④以此类推,函数y=f(x)与y=x在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的交点依次为(3,3),(4,4),…(n+1,n+1). 即方程f(x)-x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次为3,4,…n+1. 综上所述方程f(x)-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,… 其通项公式为an=n-1; 故选C.
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考点分析:
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2
2
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3
2
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1
e
2
<e
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>e
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2
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试题属性
题型:选择题
难度:中等
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