Question

数列{a_n}满足a₁=2，a₂=5，a_n+2=3a_n+1-2a_n．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由等比数列的定义，将题设中的递推公式变形成（an+2-an+1）：（an+1-an）=常数的形式；
（2）利用（1）中的结论，先求出an+1-an的表达式，再利用逐差求和法求出an；
（3）利用分组求和法进行作答．
【解析】
（1）由题意知：an+2-an+1=2（an+1-an）．
∴是等比数列（4分）．
（2）由（1）知数列{an+1-an}以是a2-a1=3为首项，以2为公比的等比数列，
∴an+1-an=3•2n-1，
∴a2-a1=3•2，a3-a2=3•21，a4-a3=3•22，…，an-an-1=3•2n-2，
∴（8分）
（3）∵an=3•2n-1-1，
∴sn==3•2n-n-3．（12分）